Теоретическая часть.

Криволинейные интегралы 1 и 2 рода. Условия независимости пути. Двойные и тройные интегралы. Определение. Вычисление. Теорема озамене переменных, свойства. Теорема о среднем значении двойного интеграла. Вывод формулы Грина для многосвязных и односвязных областей. Выводы условия полного дифференциала. Вывод формулы Ньютона-Лейбница. Физический смысл 1 и 2 интеграла.

Практическая часть.

1а. Изменить порядок интегрирования. 1∫0dx(x+1)/2∫-x2f(x,y)dy x=0 y=-x2 => x2=-y => x=√(-y) x=1 y=(x+1)/2 => x=2y-1 0∫-1dy 1∫√(-y) f(x,y)dx + 1/2∫0dy 1∫0 f(x,y)dx + 1∫1/2dy 1∫2y-1 f(x,y)dx

1б. Перейти к полярным координатам и записать интеграл. y = -x2 x=2y-1 ρsinφ = -ρ2cos2φ ρcosφ = 2ρsinφ - 1 ρ = -sinφ/cos2φ ρ(cosφ - 2sinφ) = -1 => ρ = 1/(2sinφ - cosφ) I = 0∫0dφ 1/cosφ∫0f(...)ρdρ + П/2∫П/4dφ 1/(2sinφ-cosφ)∫0f(...)ρdρ

2. Найти объем в двойных или тройных интегралах или площадь поверхности. Найти объем тела y22 = a2 x + y = a x=0 0≤x≤xпл x=f(y,z) xпл = a-y -a≤y≤a -√(..)≤z≤√(...) 0≤x≤a-y 0≤φ≤2П 0≤ρ≤a 0≤x≤a-y 0≤φ≤2П 0≤ρ≤a 0≤x-a≤a-ρsinφ 2П∫0dφa∫0ρdρa-ρsinφ∫0dx = ... = Пa3

3. Криволинейные интегралы. ∫ℓ[(x+y)dx + (y-x)dy] ℓ: x=2cost y=2sint 1 четверть dx = -2sintdt dy = 2costdt x=0 => t1=П/2 x=2 =>t2=0 I = 40∫П/2[(2cost + 2sint)(-2sint)dt + (2sint - 2cost)] = 2П