| Задача 1.
Найти все возможные разложения функции f(z) = 1/[z(z+2)] по степеням разности (z+1) f(z) = 1/[z(z+2)] = 1/2z - 1/2(z+2) 1/2*[1/(z)] = 1/2*[1/((z+1)-1)] = -1/2*0∑∞(z+1)n 1/2*[1/(z+2)] = 1/2*[1/((z+1)+1)] = 1/2*(-1)n*0∑∞(z+1)n f(z) = 1/2*[(-1)n*0∑∞(z+1)n - 0∑∞(z+1)n] Задача 2.
| Может ли функция U = y/(x2 + y2) быть вещественной или мнимой частью регулярной функции? dU/dy = (x2 - y2)/(x2 + y2)2 dU/dx = (-2yx)/(x2 + y2)2 d2U/dy2 = 2(-3yx2+y3)/(x2+y2)3 d2U/dx2 = 2(3yx2 - y3)/(x2 + y2)3 d2U/dy2 + d2U/dx2 = 0. Значит U(x,y) - вещественная часть регулярной функции f(z) f'(z)= dU/dx - i*dU/dy |(x=z y=0) = -i*(1/z2) f(z) = i/(2z) Задача 3.
| Найти особые точки функции и вычислить вычеты в них. f(z) = (ez-1)/[z2(z+П)] z=0 - бесконечно удаленная точка z=-П - полюс 1 порядка. Resz=-П f(z) = φ(0)/Ψ'(0) = (eП-1)/П Задача 4.
| Вычислить интеграл по формуле Коши (или следствий из нее). |z-3|=1∫[z*lnz]/(z-3)2 dz = |z-3|=1∫[f(z)]/[(z-3)2]dz, где f(z) = [zlnz]/(z-3) По формуле Коши ∫[f(z)/(z-3)]dz = f(3)2Пi = 6ln3Пi Задача 5.
| Вычислить интеграл с помощью теоремы о вычетах. ∫[iz(z-i)]/[2sinПz] dz C=|z - 1/2|=1 ∫[iz(z-i)]/[2sinПz]dz = Resz=0f(z) = 0 |
Функции комлексного переменного. Защита домашнего задания. Вариант 3.
| Задача 1.
Найти все возможные разложения функции f(z) = 1/4*[1/(z-4) - 1/z] по степеням разности (z-1) 1/[4*(z-4)] = 1/[4*((z-1)+1] = 1/4*(1 - (z-1) + (z-1)2 - ... + (-1)n(z-1)n+...) f(z) = -1/12*n=0∑∞ ((z-1)/3)n - 1/4*n=0∑∞(-1)n(z-1)n = -1/12*n=0∑∞(z-1)n(1/3n + 4(-1)n) - Ряд Тейлора Задача 4.
| Вычислить интеграл по формуле Коши |z-3i|=1∫(ze1/z)/(z+3i)2 dz = 2Пi/n! f(n) (z0) n=1 z0=-3i f=ze1/z f' = e1/z + ze1/z*(-1/z2) = e1/z(1-1/z) f'' = (1-1/z)*e1/z*(-1/z2) + e1/z*(1/z2) = e1/z/[z2*z] I = Пi*(e1/z)/(z3)|-3i = П/27*(e-1/3i) Задача 5.
| Вычислить интеграл с помощью теоремы о вычетах. |z-1|=2∫ [(z2+1)]/[(z2+4)sin(z/3)] dz Особые точки: z12 = ± 2i I = 2Пi Res f(0) Res f(0) = [z2+1]/[(z2+4)*sin(z/3)]|z=0 = [z2+1]/[(z2+4)*1/3*cos(z/3) + 2z*sin(z/3)]|z=0 = 1/[4/3*cos0] = 3/4 I = 2Пi*3/4 = 3/4*Пi |
