1 тип задач

Действия над комплексными числами: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел.

Действия над комплексными числами

1. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел делается по следующим правилам: k=1∑k=n(ak+ibk) = k=1∑k=n ak + ik=1∑k=n bk (a1 + ib1) - (a2+ib2) = (a1-a2) + i(b1 - b2) (a1 + ib1)(a2 + ib2) = (a1a2 - b1b2) + i(a1b2 + a2b1)

2. Возведение комплексных чисел в степень с целым положительным показателем степени производится по формуле бинома Ньютона, причем степени i (мнимой единицы) определяются следующими формулами: i4k+1=i; i4k+2=i2=-1; i4k+3=i3=-i; i4k+1=i4=1 (i=1, 2,...). Так, (a+ib)2 = a2 + 2aib + (ib)2 = a2 + 2iab - b2 = (a2 - b2) + 2aib (a+ib)3 = a3+3ia2b - 3ab2 - ib3 = (a3 - 3ab2) + i(3a2b - b3) и т.д.

3. При делении комплексных чисел числитель и знаменатель дроби умножаются на комплексное число, сопряженное со знаменателем: (a1 + ib1)/(a2 + ib2) = [(a1+ib1)(a2-ib2]/[(a2+ib2)(a2-ib2] = [(a1a2 + b1b2) + i(a2b1 - a1b2)]/[a22 + b22] = [(a1a2 + b1b2)/(a22 + b22]+i[(a2b1 - a1b2)/(a22 + b22)]

4. Извлечение корня из комплексного числа. Для того, чтобы извлечь корень n-й степени (n - целое, положительное) из комплексного числа z=x+iy, надо прежде всего представить его в показательной форме z=reiφ Здесь r=|z|=√(x2+y2) (модуль комплексного числа). φ = argz (главное значение аргумента комплексного числа, т.е. то значение Argz, которое удовлетворяет неравенству -П < φ < П). Угол φ определяется либо равенствами cos φ = x/r = x/[√(x2 + y2)]; sin φ = y/r = y/[√(x2 + y2)], либо формулой φ = arctg(y/x) + C, где C=0 при x>0; С=П при x < 0 y>0; С=-П при x < 0, y < 0. Для отыскания всех значений n√(z) надо воспользоваться формулой n√ = n√ (reiφ) = n√ (r ei(φ+2kП) = n√ (r)*ei(φ+2kП)/n, где k=0,1,2,...,n-1. Таким образом, u=n√(z) = ρeiΨ, где ρ = n(r) (здесь корень понимается в арифметическом смысле), а Ψ = φ/n + 2kП/n (k=0,1,2,...,n-1). Так находятся все n различных значений искомого корня. Таким образом, все n различных значений корня n-й степени из некоторого комплексного числа z изображаются на плоскости комплексного переменного точками, лежащими на одной и той же окрудности с радиусом ρ = n√(|z|) и центром в нулевой точке. Поскольку же разности аргументов любой пары соседних (по окружности) из этих точек постоянны и равны 2П/n, эти точки являются вершинами некоторого правильного n-угольника, вписанного в эту окружность.

Пример.

Даны числа z1 = √3 - i; z2 = -2+2i√3. Найти 1z2; 1=√3 + i 1z2 = (√3 + i)(-2 + 2i√3) = -2√3 - 2i + 2i√3√3 + 2i 2√3 = -4√3 + 4i = -4(√3-i) Найти (z1/2)2 2 = -i-2i√3 z1/2 = (√3 - i)/(-2 - 2i√3) = -(√3 - i)/(2+2√i) = -[(√ - i)(1 - i√3)]/[12 + (√3)2] = -1/8*(√3 - i - i√3√3 + i2√3) = i/2; (z1/2)2 = (i/2)2 = i2/4 = -1/4; Найти: 3√[(1)2] 1 = √3 + i; |1| = 2; arg1 = arctg(1/√3) = П/6 (C=0) 1 = 2eiП/6; 12 = 4e2iП/6 = 4eiП/3 + 2kПi; u=3√(1)2 = 3√4*eiП/3 + 2kПi/3 (k=0,1,2)