Консультация к контрольной работе.

1. Вычисление ротора, дивергенции, градиента.

2. Найти поток вектора F(x,y,z) = (x-y)i + yj + zk через замкнутую поверхность S (x-y+z=1 x=0 y=0 z=0), ограничивающую объем V. Так как поверхность замкнута, то можем применять теорему Остроградского-Гаусса. Определим дивергенцию и расставим пределы интегрирования: divF = ()x-y)'x + y'y + z'z = 3 V: 0≤x≤1 (x-1)≤y≤0 0≤z≤(1-x+y) П=∫∫FdV=∫∫∫V(divFdV) = 3∫∫∫VdV = 30∫1dx0∫x-1dy0∫1-x+ydz = 3/2 В основном представлены задачи на вычисление тройного интеграла. Обратить внимание на сферические и цилиндрические координаты.

3. Найти циркуляцию вектора а) непосредственно б) по формуле Стокса для вектора F(x,y,z) = zyi + yxj + yzk по замкнутой линии L, образованной пересечением поверхностей: z=0 x+y=1 x+y=-1 x-y=1 x-y=-1 единичный вектор n0 = k Ц = ∫CFdV = ∫ABCDA (zydz + yxdy + yzdz) = ∫ABCDA(yxdy) = ... = 1/6 + 1/6 - 1/6 - 1/6 = 0 Находим ротор: rotF = i(z-0) - j(0-y) + k(y-z) = zi + yj + (y-z)k rotF*k = y-z По Теореме Стокса: Ц = ∫∫n0rotFdS = ∫∫S(y-z)dS = ∫∫SydS = -1∫0dx-1-x∫x+1ydy + 0∫1dxx-1∫1-xydy = ...