Домашнее задание по аналитической геометрии № 2.

Поверхности 2-го порядка

ЗАДАЧА 1.

1. Для заданных в прямоугольной декартовой системе координат OXYZ поверхностей:
1) указать преобразование параллельного переноса, приводящее уравнениие поверхности к каноническому виду, канонический вид уравнений этих поверхностей, назвав их;
2) построить поверхности в системе OXYZ, указав на чертеже линию пересечения поверх ностей;
3) записать уравнения линии пересечения поверхностей;
4) записать уравнения проектирующих цилиндров линии пересечения поверхностей на ко ординатные плоскости;
5) записать уравнения проекций линии пересечения поверхностей на координатные плоско сти и построить их.

2. Тело, ограниченное поверхностями, заданными в декартовой прямоугольной системе координат OXYZ, спроектировать на координатные плоскости, построить проекции тела н; координатных плоскостях, записать уравнения границ получившихся проекций.

Вариант 1.
1.x2 + y2 - 4x + 2y + z - 4 = 0
   4x2 + 9y2-16x + 18y - 11 = 0
2.x2 + y2 - 4x + 2y + z - 4 = 0
  4x2 + 9y2 - 16x + 18y - 11 = 0
  z = 0
Вариант 2.
1.2x2+ y2- 4x - 4y - z + 7 = 0
  y2 - 4y + z - 5 = 0
2.2x2 + y2 - 4x - 4y - z + 7 = 0
  y2 - 4y + z - 5 = 0
Вариант 3.
1.x2 + y2 - 2x - 2y - 2z + 6 = 0
  x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 4z - 2 = 0
2.x2 + y2 - 2x - 2y - 2z + 6 = 0
  x2 + y2 + z2 - 2x - 2y - 4z - 2 = 0
Вариант 4.
1.4x2 + y2 - 8x + 2y - 8z + 5
  4x2 + y2 - 4z2 - 8x + 2y + 1 = 0
2.4x2 + y2 - 8x + 2y - 8z + 5 = 0
  4x2 + y2 - 4z2 - 8x + 2y + 1 =0
  z=0
Вариант 5.
1.x2 + y2 - 2z2 - 4x - 6y + 4z + 11 =0
  x2 + y2 - z2 - 4x - 6y + 2z + 11 = 0
2.x2 + y2 - 2z2 - 4x - 6y + 4z + 11 = 0
  x2 + y2 - z2 - 4x - 6y + 2z + 11 = 0
Вариант 6.
1.x2 + 2y2 - z2 - 2x + 4y + 2 = 0
  x2 - 2x + z2 = 0
2.x2 + 2y2 - z2 - 2x + 4y + 2 = 0
  x2 - 2x + z2 = 0
Вариант 7.
1.x2 - y2 - 2x + 4y - 2z - 3 = 0
  x2 + y2 - 2x - 4y + 4 = 0
2.x2 - y2 - 2x + 4y - 2z - 3 = 0
  x2 + y2 - 2x - 4y + 4 = 0
  z = 0
Вариант 8.
1.x2 + y2 - 2x + 2y - z + 4 = 0
  x2 + y2 - 4x + 2y + 4 = 0
2.x2 + y2 - 2x + 2y - z + 4 = 0
  x2 + y2 - 4x + 2y + 4 = 0
  z = 0
Вариант 9.
1.x2 + y2 - z2 - 2z - 4y + 6 = 0
  4x2 + y2 - 8x - 4y + 4 = 0
2.x2 + y2 - z2 - 2x - 4y + 6 = 0
  4x2 + y2 - 8x - 4y + 4 = 0
Вариант 10.
1.x2 + 9y2 - 4z2 + 4x + 54y + 121 = 0
  x2 + y2 + 4x + 6y - 23 = 0
2.x2 + 9y2 - 4z2 + 4x + 54y + 121 = 0
  x2 + y2 + 4x + 6y - 23 = 0
Вариант 11.
1.y2 + z2 + x - 4y - 2z - 11 = 0
  9y2 + 16z2 - 36y - 32z - 92 = 0
2.y2 + z2 + x - 4y - 2z - 11 = 0
  9y2 + 16z2 - 36y - 32z - 92 - 0 x = 0
Вариант 12.
1.y2 + x - 2y - 7 = 0
  2y2 + z2 - x - 4y + 4 = 0
2.y2 + x - 2y - 7 = 0
  2y2 + z2 - x - 4y + 4 = 0
Вариант 13.
1.x2 + y2 + z2 + 2x - 2y - 2z - 9 = 0
  x2 + z2 + 2x - 4y - 2z + 6 = 0
2.x2 + y2 + z2 + 2x - 2y - 2z - 9 = 0
  x2 + z2 + 2x - 4y - 2z + 6 = 0
Вариант 14.
1.x2 + 4z2 + 2x - 8y - 16z + 25 = 0
  x2 - 4y2 + 4z2 + 2x + 8y - 16z + 17 = 0
2.x2 + 4z2 + 2x - 8y - 16z + 25 -0
  x2 - 4y2 + 4z2 + 2x - 8y - 16z + 17 = 0
  y - 1 =0
Вариант 15.
1.4x2 - 5y2 + 4z2 - 8x + 10y + 8z + 3 = 0
  x2 - y2 + z2 - 2x + 2y + 2z = 0
2.4x2 - 5y2 + 4z2 - 8x + l0y + 8z + 3 = 0
  x2 - y2 + z2 - 2x + 2y + 2z - 0
Вариант 16.
1.2x2 - 2y2 + z2 - 8x + 4y - 2z + 5 = 0
  x2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0
2.2x2 - 2y2 + z2 - 8x + 4y - 2z + 5 = 0
  x2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0
Вариант 17.
1.x2 - y2 - 4x + 2y + 2z + 3 = 0
  x2 + y2 - 4x - 2y + 1 = 0
2.x2 - y2 - 4x + 2y + 2z + 3 = 0
  x2 + y2 - 4x - 2y + 1 = 0
z = 0
Вариант 18.
1.4x2 + z2 - 8x - 8y + 12 = 0
  4x2 + z2 - 4 = 0
2.4x2 + z2 - 8x - 8y + 12 = 0
  4x2 + z2 - 4 - 0
y = 0
Вариант 19.
1.x2 - y2 + z2 - 2x - 4z + 6 = 0
  4x2 + z2 - 8x - 4z + 4 = 0
2.x2 - y2 + z2 - 2x - 4z + 6 = 0
  4x2 + z2 - 8x - 4z + 4 = 0
Вариант 20.
1.x2 + y2 - 2x - 2y + z - 3 = 0
  4x + z - 9 = 0
2.x2 + y2 - 2x - 2y + z - 3 =0
  4x + z - 9 = 0
Вариант 21.
1.x2 + z2 + 2x + y - 2z - 4 = 0
  6x2 + 4z2 + 12x - 8z - 14 = 0
2.x2 + z2 + 2x + y - 2z - 4 = 0
  6x2 + 4z2 + 12x - 82 - 14 = 0
  y = 0
Вариант 22.
1.x2 - 4x + z - 3 = 0
  x2 + y2 - 4x - z + 5 = 0
2.x2 - 4x + z - 3 = 0
  x2 + y2 - 4x - z + 5 = 0
Вариант 23.
1.4x2 + y2 + 4z2 - 16x - 2y + 9 = 0
  y2 + 4z2 - 4x - 2y + 9 = 0
2.4x2 + y2 + 4z2 - 16x - 2y + 9 = 0
  y2 + 4z2 - 4x - 2y + 9 = 0
Вариант 24.
1.9y2 + 4z2 - 72x - 18y - 16z + 97 = 0
  36x2 - 9y2 - 4z2 - 72x + 18y + 16z + 47 = 0
2.9y2 + 4z2 -72x - 18y - 16z + 97 = 0
  36x2 - 9y2 - 4z2 - 72x + 18y + 16z + 47 = 0
  x = 0
Вариант 25.
1.x2 - y2 - z2 + 2y + 4z - 4 = 0
  4x2 - 3y2 - 3z2 + 6y + 12z - 15 = 0
2.x2 - y2 - z2 + 2y + 4z - 4 = 0
  4x2 - 3y2 - 3z2 + 6y + 12z - 15 = 0
Вариант 26.
1.8x2 - 2y2 - z2 - 16x + 12y - 2z - 3 = 0
  4x2 + y2 - 8x - 6y + 9 = 0
2.8x2 - 2y2 - z2 - 16x + 12y - 2z - 3 = 0
  4x2 + y2 - 8x - 6y + 9 = 0

Кривые 2-го порядка

Условия задач.

В задачах 1-2 заданное уравнение линии второго порядка привести к каноническому виду и построить кривую в системе координат OXY.

В задаче 3 по приведенным данным найти уравнение кривой в системе координат OXY.

Для задач 1-3 указать:
1) канонический вид уравнения линии;
2) преобразование параллельного переноса, приводящее к каноническому виду;
3) в случае эллипса: полуоси, эксцентриситет, центр, вершины, фокусы, расстояния от точки С до фокусов;
в случае гиперболы: полуоси, эксцентриситет, центр, вершины, фокусы, расстояния от точки С до фокусов, уравнения асимптот;
в случае параболы: параметр, вершину, фокус, уравнение директрисы, расстояния от точки С до фокуса и директрисы.
Для точки С проверить свойство, характеризующее данный тип кривых как геометрическое место точек.

Вариант 1.
1) Зх2 + у2 - 12х - 2у + 4 = 0, C(3; 1 + _v/-б)
2) 4у2 - 3х + 8у + 7 = 0, С (7/4;-7/4)
3) Гипербола с фокусами F1(1; 1) и F2(7; 1) пересекает ось OY в точке C(0; 1 + _v/-(15))
Вариант 2.
1) ху - х - 2у + 1 =0, С(0;1/2)
2) _v/-З*х2 + 4_v/-3*y2 + 8х - 8_v/-(2)у = 8_v/-(3), C(0;-_v/-(2/3))
3) Парабола проходит через точку С(—4; —1), ее директриса имеет уравнение х + 3/2 = 0, расстояние фокуса от вершины равно 1/2, вершина лежит во второй четверти.
Вариант 3.
1)2х2 - 12х + у + 16 = 0, С(4;0)
2) Зх2 - у2 + 24х + 2у + 35 = 0, С(0; -5)
3) Эллипс проходит через точку С(1 — (3_v/-3/2;0), его большая ось параллельна оси OY, центр находится в точке 0'(1; -5/2), эксцентриситет E = 4/5.
Вариант 4.
1) 9х2 - 16у2 - З6х - 96у + 36 = 0, C(1/3;1/4)
2) 5х2 + 9у2 - З0х + 18у = 126, С(0;_v/-(15)-1)
3) Парабола симметрична относительно прямой, параллельной оси OY, проходит через точку С(1; 0), имеет вершину в точке О'(—1, —4).
Вариант 5.
1) y2 - 4х - 8у + 24 = 0, С(6;0)
2) 16х2 - 9у2 + 32х + 18у + 16 = 0, С(-11/16;-1/12)
3) Точки A(—3_v/-(5) — 1;4) и В( —1;4 — 2_v/-(5)) являются вершинами эллипса, а точка C(2,0) лежит на нем.
Вариант 6.
1) 4_v/-(З)х2 + _v/-(3)y2 - 8_v/-(2)х-2у = _v/-(3), С(0;-1/_v/-(3)) 2) Зх2 + 18х + 4у + 31 = 0, C(-1;-4) 3) Асимптоты гиперболы параллельны осям координат ОХ и OY, F1(4 + 3_v/-(2); — 2 — 3_v/-(2)) и F2(4 — 3_v/-(2); — 2.+ 3_v/-(2)) - ее фокусы, а С - точка пересечения гиперболы с осью ОХ. С(—1/2; 0).
Вариант 7.
1)y2 + 3x + 4y=2 C(-1;1)
2) 2х2 - у2 - 8х - 4у + 2 = 0, C(2 - _v/-3; 0)
3) Оси симметрии эллипса параллельны осям координат ОХ и OY, А(3; 1) - вершина эллипса, F1( —1;4) - его фокус, а точка C(8_v/-(2)/3 - 1; - 2/3) принадлежит эллипсу.
Вариант 8.
1) 4х2 - 21у2 + 1бх + 84у + 268 = 0, C(19;-8)
2) х2 + 4у2 - 2х - 4у = 2, С (1 + _v/-(3); 0) 3) Директриса параболы имеет уравнение у = 13/8, F(—1; 19/8) - ее фокус, а С точка пересечения параболы с осью OY.
Вариант 9.
1) х2 + 5у2 - 6х + 20у + 4 = 0, C(3 - _v/-(5); 0)
2) 2у2 - х - 4у + 3 = 0, C(3; 0)
3) Углы между асимптотами гиперболы и осью ОХ равны 60°, O'(3; —1) - центр гиперболы, а точка C(0; —1 + 2_v/-(6)) лежит на ней.
Вариант 10.
1)4x2 + 16x + 3y + 7 = 0 C (-1/2;0)
2)xy + х + 4у = 0, С(0;0)
3) Эллипс проходит через точку C(1 + 5_v/-(3);0), F1(l + 7_v/-(3); — 4) и F2(1 - 7_v/-(3); —4) - его фокусы.
Вариант 11.
1) 7х2 + 16у2 + 14х-32у = 89, С(1/3; 1 +2/3*_v/-(14))
2) 9х2 - 7у2 - 18х - 14у + 30 = 0, С(-13; 15)
3) Парабола симметрична относительно прямой у + 4 = 0 и пересекает ось ОХ в точке С(— 5; 0). Расстояние ее фокуса от директрисы равно 1, а ее ветви лежат в полуплоскости х <= 0.
Вариант 12.
1) x2 + 4x - 4y - 4 = 0, C(0;-1)
2) 2х2 + у2 + 4х + бу + 7 = 0, C(0; -3 - _v/-(2))
3) Гипербола имеет фокусы F1(3; -1) и F2(- 1; -1) и проходит через точку С(- 1;2).
Вариант 13.
1) 8x2 + 9у2 + 48x - 18у = 207, C(0; 1 - 2_v/-(6))
2) x2 - 8y2 - 4z - 16y + 4 = 0, C(-2/7;2/7)
3) Парабола лежит в полуплоскости х >= -3, имеет вершину А(—3;2) и пересекает ось ОХ в точке C(1; 0).
Вариант 14.
1) 3x2 - 12x + 4y + 8 = 0, C(0;-2)
2) 9x2 + Збу2 + 60x - 72у + 28 = О, С(0;1 + _v/-(2)/3)
3) Гипербола пересекает ось ОХ в точке C(1/3;0) и имеет асимптоты х + 5 = 0 и у = 3.
Вариант 15.
1) 4x2 + 3y2 - 8x + 12y + 4 = 0, C(-1/2; -1)
2) 3x2 - y2 - 30x + 2y + 26 = 0, C (0;1+3_v/-(3))
3) Парабола симметрична относительно прямой у + 3 = 0,имеет директрису х = 7/4 и проходит через точку С(1/4; -3/2)
Вариант 16.
1) x2 - 8y2 + 14x + 16y = 7, C(-1/7;1/7)
2) 2x2-5y-4z + 12 = 0, C(7/2;9/2)
3) Эллипс проходит через точку C(5/2;2), а его большая ось оканчивается вершинами А(—2;5) и B(-2;-7)
Вариант 17.
1) 3x2 + 4у2 + 6x + 24у = 9, C(1; 0)
2) 7x2 - 9у2 - 56x - 56у + 24 = 0, C(1/3; 1/9)
3) Парабола симметрична относительно прямой у + 1 = 0 и проходит через точки А(—2; —1) и С(4;2)
Вариант 18.
1) x2 + 2y-10x + 23 = 0, C(3;-1)
2) 16x2 + 25у2 + 32x - 100у = 284, С(7/3;2 + 4/3*_v/-(5))
3) Фокусы равносторонней гиперболы находятся на расстоянии 6 от центра, одна из ее асимптот задается уравнением х = 4, а C(—5;0) - точка пересечения гиперболы с осью ОХ.
Вариант 19.
1) 16х2 - 9у2 + 128х - Збу + 364 = 0, С(0; 14/3)
2) у2 + х + 4у + 1 =0, С(-1;0)
3) Эллипс симметричен относительно прямой у = 1, проходит через точку C(0; 1 — _v/-(5)/3) и имеет вершину А(—2;0).
Вариант 20.
1) х2 - 4у + 2х + 9 = 0, С(1;3)
2) Збх2 + 20у2 - 72х - 60у = 99, С(1 + _v/-(15)/2; 0)
3) Гипербола проходит через точку С(1/5; 2/5) и имеет асимптоты Зx - 4у + 31= 0 и Зх + 4у - 1 = 0.
Вариант 21.
1) 4х2 - 5у2 - 32х - 10у + 104 = О, С(1/4,7/2)
2)у2 - 2х + 4у + 2 = 0, С(1;0)
3) Эллипс проходит через точку С(3 — _v/-(2); 0), имеет вершины A(5; —1) и В(3; _v/-(2)— 1), а его оси параллельны осям координат ОХ и OY.
Вариант 22.
1) ху + 2х + 4у = 8, С(4;0)
2) 4x2 + 9y2 - 16z - 18y= 11, C (2 + 3/2*_v/-(3);0)
3) Парабола пересекает ось ОХ в т. С(1; 0), имеет директрису х = 13/3. Ее вершина расположена в четвертой четверти на расстоянии 1/3 от фокуса.
Вариант 23.
1) х2 + 2х + 3у = 8, С(2;0)
2) Зх2 - у2 + 36х + 2у + 80 = 0, С(0;-8)
3) Эллипс симметричен относительно прямых х = 1 и у + 2 = 0, проходит через точку А(1 - 5/2*_v/-(3); -5) и точку С(1 + 10/3_v/-(2);0).
Вариант 24.
1)2х2 - 8х - 3у + 17 = 0, C(1/2;9/2)
2)16x2 + 9y2 - 32x - 18y = 119, C(0; 1 - 8/3*_v/-(2))
3) Гипербола проходит через точку C(1 3/4*_v/-(5); 0) и имеет асимптоты 4x + Зу + 5 = 0 и 4х - 3у = 13.
Вариант 25.
1) 5х2 + у2 + 20х - 2у = 4, C(0;l-_v/-(5))
2) 5х2 - 4у2 + 20х - 8у = 64, С(12; 14)
3) Парабола симметрична относительно прямой у + 1 = 0, имеет фокус F( — 3/8; —1), пересекает ось ОХ в точке С( — 3/5; 0), а ее ветви лежат в полуплоскости х >= 0.
Вариант 26.
1) х2 - 4х + 2у + 6 = 0, C (0;-3)
2) 9х2 + 2у2 - 18х + 8у = 1, C(1 - _v/-(10)/3)
3) Асимптоты гиперболы параллельны осям координат ОХ и OY, а фокусы имеют координаты F1(—3 + _v/-(2); 1 — _v/-(2)) и F2(—3 — _v/-(2); 1 + _v/-(2)). Точка С есть точка пересечения гиперболы с осью OY. C(0; 2/3).
          Страница создана: BlackPaul, http://studentps.narod.ru
Hosted by uCoz