Даны уранения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. x=2t-2 y = -4t2 при t>=0 Для определения уравнений точки исключим время из заданных уравнений движения. t=(x+2)/2 y=-(x+2)2 Траектория точки (рис.1) - часть параболы с вертикальной осью симметрии. Определим положение точки на траектории в рассматриваемый момент времени. При t = 1c x = 0м y = 4м (координата равна -4) Определяем скорость и ускорение точки с помощью уравнений движения по их проекциям на оси декартовых координат: Vx = x' = 2 Vy = y' = -8t V=√(Vx2 + Vy2) = √(4 + 64t2) = 2√(1+16t2) При t=1c: Vx=2 м/с Vy = -8 м/с V=8,246 м/с Направляющие косинусы для скорости равны Cos (V^x) = Vx/V = 2/8,246 = 0,2425 Cos (V^y) = Vy/v = -8/8,246 = 0,97 ax = x'' = 0 ay = -8 м/с2 a=√(ax2 + ay2) a= |ay| = 8 м/с2 cos (a^x) = ax/a =0 cos (a^y) = ay/a =1 Вектор ускорения направлен параллельно оси oy (по оси oy) в отрицательную сторону. Уравнения движения точки в полярных координатах r=√(x2 + y2) φ = arctg y/x Получаем: r= √[(2t-2)2 + 16t4] = √[4t2 - 8t + 4 + 16t4 = 2√[t2 - 2t + 1 + 4t4 φ=arctg[-4t4/(2t-2)] Вычислим величину радиальной составляющей скорости Vr=dr/dr Vr = (2t-2+16t3)/[√(t2 - 2t + 1 + 4t4] При t=1 сек Vr=8 м/с Знак плюс показывает, что радиальная составляющая скорости направлена по радиус-вектору точки М. Вычислим величину трансверальной составляющей скорости. Vp = rd(φ)/dt dφ/dt = 1/[1 + 16t4/(2t-2)2] * [-8t(2t-2) + 4t22]/(2t-2)2 = (4t-2t)2/[(t-1)2 + 4t4] Vp=[2(4t-2t2√(t2 - 2t + 1 + 4t4)]/[(t-1)2 + 4t4] = (8t-4t2)/√(t2 - 2t + 1 + 4t4) При t=1 Vp = 2 м/с Знак плюс показывает, что трансверальная составляющая скорости направлена в сторону увеличения угла φ. Проверим правильность вычислений модуля скорости по формуле: V = √(Vr2 + Vp2) = √(4+64) = 8,246 м/с Определим величины касательного и нормального ускорений точки. При естественном способе задания движения величина касательного ускорения определяется по формуле aт=dVt/dt = d[√(x'2 + y'2)] = (Vxax + Vyay)/V = 64t/[2√(1+16t2)]=32t/√(1+16t2) При t=1 c aт=7,76 м/с2 Так как знаки скорости и касательного ускорения совпадают, точка движется ускоренно. Нормальное ускорение: an=√(a2 - a2т) an = √(64-60,2176) = √3,7284 = 1,345 м/с2