Домашнее задание по физике.

Электростатика.

Задача 1.1

Сферический диэлектрический конденсатор имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R0 и R соответственно. Заряд конденсатора равен q. Диэлектрическая проницаемость меняется между обкладками по закону ε = f(r).

Построить графически распределение модулей вектора электрического поля Е, вектора поляризованности Р и вектора электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на внутренней δ'1 и внешней δ'2 поверхностях диэлектрика, распределение объемной плотности зарядов ρ'(r), максимальные значения напряженности электрического поля Е, векктора электрического смещения D, разность потенциалов U между обкладками и емкость конденсаторов.

Функция ε = f(r) для нечетных вариантов имеет вид:
ε = (R0n + Rn)(Rn + rn)

Функция ε = f(r) для четных вариантов имеет вид:
ε = (R0n + Rn - rn)

Таблица 1.1. Значения параметров n и R0/R в зависимости от номера варианта.

# вариантаR0/Rn
12/12
23/12
33/22
42/13
53/13
63/23
72/14
83/14
93/24
Задача 1.2

Цилиндрический бесконечно длинный диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R0 и R соответственно. Диэлектрическая проницаемость меняется между обкладками по закону ε = f(r).

Построить графически распределение модулей вектора электрического поля Е, вектора поляризованности Р и вектора электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить поверхностную плотность связанных зарядов на внешней δ'2 или на внутренней δ'1 поверхностях диэлектрика, распределение объемной плотности связанных зарядов ρ'(r), максимальные значения напряженности электрического поля Е, векктора электрического смещения D, емкость конденсатора на единицу длины.

Функция ε = f(r) для нечетных вариантов имеет вид:
ε = (R0n + Rn)/(Rn + rn).

Функция ε = f(r) для четных вариантов имеет вид:
ε = (R0n)/(R0n + Rn - rn)

Таблица 1.2 Номера вариантов в зависимости от параметров n и R0/R

# вариантаR0/Rn
102/12
113/12
123/22
132/13
143/13
153/23
162/14
173/14
183/24
Задача 1.3

Цилиндрический бесконечно длинный диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и расстояние между обкладками равно d. Диэлектрическая проницаемость меняется между обкладками по закону ε = f(y).

Построить графически распределение модулей вектора электрического поля E, вектора поляризованности P и вектора электрического смещения D между обкладками конденсатора. Определить емкость конденсатора C на единицу площади, поверхностную плотность связанных зарядов σ1 и верхней σ2 поверхностях диэлектрика, распределение объемной плотности связанных зарядов ρ(y), максимальные значения напряженности электрического поля E и вектора электрического смещения D.

Функция ε = f(y) для нечетных вариантов имеет вид:
ε = (d0n + dn)/(yn + d0n)

Функция ε = f(y) для нечетных вариантов имеет вид:
ε = (d0n)/(d0n - yn)
d0 - известный параметр.

# вариантаd0/dn
191/10.5
202/10.5
213/10.5
222/11
231/11
243/11
251/12
262/12
273/12
Для всех вариантов.

По результатам проведенных вычислений построить графически зависимости D(r)/D(R), E(r)/E(R) в интервале значений r от R до R0 для задач 1.1 и 1.2, и D(y)/D(0), E(y)/E(0) в интервале значений y от 0 до d для задачи 1.3. Все зависимости изобразить на одном графике.

Основные формулы электростатики.

Связь между векторами E,D,P:
D = ε0εE, P = (ε-1)ε0E, P = (ε -1)D/ε

Теорема Гаусса для диэлектрика:
SDdS = q.

Теорема Гаусса для вектора поляризованности P:
SPdS = -q'.

Связь между напряженностью электрического поля E и потенциалом φ:
12Edl = φ1 - φ2 = -∆φ

Емкость конденсатора:
C = q/∆φ

Пример решения задачи 1.1.

Определим зависимость модуля вектора E,D,P от радиуса r в предположении, что заряд внутренней и внешней обкладки равен +q и -q соответственно. Для изотропной среды связь между этими векторами определяется известными соотношениями.

Тогда, применив теорему Гаусса для сферы радиуса r:
4Пr2D=q
получим для модулей векторов E,D,P:
D=q/4Пr2, E=q/4Пεε0r2, P=(ε - 1)q/4Пεr2
далее для нечетных вариантов
D=q/4Пr2, E=q(Rn+rn)/4(R0n + Rn)Пε0r2,
P=(R0n - rn)q/4Пr2(R0n + Rn)
для четных вариантов:
D = q/4Пr2, E=q(R0n + Rn - rn)/4П(R0n0r2,
P = q(rn - Rn)/4Пεr2R0n

Поверхностную плотность связанных зарядов можно определить из соотношения Pn = σ', например, для нечетных вариантов:
P = (R0n - Rn)q/4Пr2(R0n + Rn) при r=R
P = (R0n - R0n)q/4Пr2(R0n + Rn)=0 при r=R0

Объемную плотность связанных зарядов определим из уравнения:
SPdS = -q'

В качестве поверхности интегрирования выберем две концентрические сферические поверхности радиусами r и r+dr. Тогда уравнение будет иметь вид:
d(P4Пr2) =-dq'
где -dq'=ρ'(4Пr2dr) - величина связанного заряда, заключенного между этими сферическими поверхностями.
для нечетного варианта:
d((R0n - rn)q/4П(R0n + Rn))/r2dr = ρ' = (-nrn-1)q/4П(R0n + Rn)r2

Емкость конденсатора можно определить найдя разность потенциалов между обкладками:
∆φ = U = -∫Ed(r)
U = (q/4(R0n + Rn)Пε0∫(Rn + rn)/r2 = (rn/(n-1) - Rn)/r = (R0n/(n-1) - Rn)/R0 - (Rn/(n-1) - Rn)/R
Далее по определению емкости конденсатора C=q/∆φ

Пример решения задачи 1.2.

Определим зависимость модуля векторов E,D,P от радиуса r в предположении, что заряд внутренней и внешней обкладки на единицу длины равны +λ и -λ соответственно. Для изотропной среды связь между этими векторами определяется известными соотношениями.

Тогда, применив теорему Гаусса для цилиндрической поверхности радиуса r:
2ПrlD=λl
получим для модулей векторов E,D,P:
D=λ/2Пr, E=λ/2Пεε0r, P=(ε-1)λ/2Пεr
далее для нечетных вариантов:
D = λ/2Пr, E=λ(Rn + rn)/2(R0n+Rn)Пε0r,
P = (R0n - rn)λ/2Пr(R0n + Rn)
для четных вариантов:
D = λ/2Пr, E=λ(R0n + Rn - rn)/2П(R0)nε0r,
P = λ(rn - Rn)/2ПrR0n

Поверхностную плотность связанных зарядов можно определить из соотношения Pn = σ', например, для нечетных вариантов:
P = (R0n - Rn)λ/2Пr(R0n + Rn) при r=R
P = (R0n - R0n)λ/2Пr(R0n + Rn) = 0 при r=R0

Объемную плотность связанных зарядов определим из уравнения:
SPdS = -q'

В качестве поверхности интегрирования выберем две цилиндрические поверхности радиусами r и r+dr. Тогда уравнение будет иметь вид:
d(P2Пrl) = -dq'
где -dq' = ρ'(2Пrldr) - величина связанного заряда, заключенного между этими сферическими поверхностями.

для нечетного варианта:
(d((R0n)λ/2Пr(R0n+Rn))2Пr)/2Пrdr = ρ' = (-nrn-l)λ/2П(R0n + Rn)r

Емкость конденсатора можно определить найдя разность потенциалов между обкладками:
∆φ = U = -∫ Ed(r)
U=(λ/2(R0n + Rn)Пε0)∫(Rn + rn)/r = (rn/n - Rnlnr) = (λ/2(R0n + Rn)Пε0)(((R0n - Rn)/n) - (Rnln(R0/R))).

Далее по определению емкости конденсатора на единицу длины: C = λ/∆φ

          Страница создана: BlackPaul, Сайт Студентов Приборостроительного факультета МГТУ http://studentps.narod.ru 2003-2004
Hosted by uCoz