Вариант 1.

Задача 1. Вычислить меньшую из площадей, содержащуюся между линиями: х2 + у2 = 16; х2 = 6у. Задача 2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг прямой параллельной оси ОХ и проходящей через вершину циклоиды, фигуры, ограниченной осью ОХ и одной аркой циклоиды. {x = 8(t-sint) {у = 8(l-cost) Задача 3. Найти длину дуги кривой р = 4(1 — cos φ) от точки А(0;0) до точки пересечения с прямой φ = З/2 П. Задача 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси ОУ: 4x2 + y2 = 4. Задача 5. Пластина в форме прямого параболического сегмента г основанием 2l и высотой h погружена вертикально в жидкость плотности φ, так что основание сегмента находится на поверхности жидкости Найти силу давления жидкости на пластину (По закону Паскаля сила давления жидкости плотности φ на площадку S при глубине погружении Н, независимо от ее ориентации Р = φgHS, g - ускорение силы тяжести). 2l = 2 м, h = 1 м φ = 1 г/см3, g = 9,81 м/c2 Задача 6. а) +00∫1 [ln cos (1/x)]/x2dx б) 1∫0 √(x)/[√(1 - x4)] dx

Вариант 2.

Задача 1. Вычислить площадь, ограниченную линией p=asin3(x/3), лежащую ниже полярной оси. Задача 2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной осью ОХ и одной аркой циклоиды: {x = 7(t-sint) {у = 7(l-cost) Задача 3. Найти длину петли кривой x=t2, y = t - 1/3t3 Задача 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОX кривой y=x2/3 для -2 =< x =< 2 Задача 5. Котел имеет форму половины эллипсоида вращения с полуосями а, а, с. Он наполнен жидкостью, плотность которой равна φ. Вычислить работу, совершаемую при выкачивании всей жидкости из котла а = 2 м, с = 3 м, φ = 0,8 г/см3, g = 9,81 м/с2 Задача 6. а) +00∫1 sin2x/x dx б) 1∫0 x2dx/[3√(1 - x2)5] dx

Вариант 3.

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = lnх, касательной к ней в точке х = е и осью ОХ. Задача 2. Найти обьем тела, полученного от вращения линии у = √(x) e-x2 вокруг своей асимптоты. Задача 3. Найти длину дуги всей кривой: х = 5 cos3(t/4); у = 5sin3(t/4) Задача 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты р2 = a2sin2φ вокруг полярной оси. Задача 5. На дне котла, имеющего форму половины эллипсоида вращения с полуосями а, а, с, есть отверстие площадью S. Сколько потребуется времени на то, чтобы вода, наполняющая котел, вытекла из него? (По закону Торичелли: скорость истечения жидкости V = λ√(2gh), где h - высота столба жидкости над отверстием, g - ускорение силы тяжести, λ = 0, б - для воды), а = 3 м? с = 5 м, S = 9П см2, g = 9,81 м/с2. Задача 6.а) +oo∫0 √(x) e-x dx б) 1∫0 dx/(e√(x) - 1) dx

Вариант 4.

Задача 1. Вычислить площадь, ограниченную линиями: (х — 2)(у + 3) =6 и x + у =6. Задача 2. Определить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной линиями: (x2/a2) - (y2/b2 = 1; y = b; y = - b.) Задача 3. Найти длину дуги кривой p = 5φ, отсекаемую окружностью р = 10П. Задача 4. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением петли кривой х = t2; у = 1/3(t2 - 3) вокруг оси ОХ. Задача 5. Пластина в форме равнобедренного треугольника вращается с постоянной угловой скоростью ω относительно прямой, лежащей в плоскости треугольника, проходящей через его вершину параллельно основанию. Вычислить кинетическую энергию пластинки, если длина основания равна а, длина высоты, опущенной на основание h, толщина пластинки δ, а. плотность материала, из которого она изготовлена ρ. (Кинетическая энергия материальной точки, имеющей массу m и обладающей скоростью v, определяется по формуле К = mv2/2). a = 40 см, h = 10 см, ω = 5П 1/с, δ = 0,2 см, ρ = 2,2 г/см3 Задача 6. а) +oo∫2 dx/[x2 + 3√(x4 + 1)] б) 1∫0 √(x) dx/(esinx - 1) dx