Теоремы и аксиомы раздела "Предел функции"

24 октября 2003 г. http://studentps.narod.ru

Метод математической индукции.

1. Пусть число 1 обладает свойством Р.
2. Из того, что число n обладает свойством P следует, что число n+1 тоже обладает свойством P.
Тогда любое натуральное n обладает свойством P

Аксиомы сложения (1)

1(1): Существует нулевой элемент (0), обладающий следующими свойствами: х+0=0+х=х
2(1): для любого действительного х существет (-х) - обратный элемент (х)+(-х)=0
3(1): для любых действительных х и у х+у=у+х
4(1): для любых действительных х, у, z: x+(y+z)=xy+xz

Связь сложения и умножения (2)

1(2) Существует нейтральный элемент, называемый 1, для любого действительного х выполняется: х*1=1*х=х
2(2) для любого действительного х (х<>0) существует обратный элемент 1/х
3(2) для любых действительных х,у: ху=ух
4(2) для любых действительных x,y,z: x(y+z)=xy+xz

Аксиомы порядка (3)

На множестве R чисел введено т.н. отношение порядка, т.е. для любых двух элементов установлено, выполняется x<=y или нет
1(4) для любого х х<=х
2(4) для любого x x<=y и y<=x значит x=y
3(4) x<=y и y<=z => x<=z
4(4) для любых x,y x<=y или y<=x

Связь сложения и порядка (5)

для любых действительных x,y,z: если x<=y, то x+z<=y+z

Связь умножения и порядка (6)

Для любых действительных x,y. Если 0<=x и 0<=y, то 0<=xy.

Аксиомы полноты (7)

Если X и Y - два непустых подмножества действительных чисел и известно, что (х принадлежащее Х)<=(y принадлежащее У), то существует действительное С, такое, что х<=C<=y

Определение множества действительных чисел

Множество, удовлетворяющее аксиомам (1) и (7) называется множеством действительных чисел.

Теорема о единственности предела

Числовая последовательность может иметь только один предел

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

Сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема Витерштрасса, о монотонной последовательности

Всякая ограниченная сверху монотонно возрастающая последовательность имеет предел.

Теорема о сумме бесконечно малых последовательностей.

Пусть {A(n)} и {B(n)} - бесконечно малые последовательности. Тогда {A(n)+B(n)} - бесконечно малая последовательность.

Теорема о пределе на бесконечности произведения бесконечно малой и ограниченной последовательностей

lim (n->oo) A(n)=0 и B(n) - ограниченая, то lim(n->oo) A(n)B(n)=0

Теорема (следствие теоремы о пределе на бесконечности произведения бесконечно малой и ограниченной последовательностей)

Пусть {A(n)} и {B(n)} - бесконечно малые. Тогда {A(n)B(n)} - бесконечно малая.

Теорема об арифмитических свойствах предела

Если lim(n->oo) x(n)=A; A<>oo; lim(n->oo)y(n)=B; B<>oo; то
1) lim(n->oo) (x(n)+/-y(n))=A+/-B
2) lim(n->oo) (x(n)*y(n))=A*B
3) lim(n->oo) (x(n)/y(n))=A/B (если y(n)<>0 при любом n и B<>0)

Теорема о единственности предела в точке.

Функция не может иметь 2 различных предела в точке.

Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел.

Если у функции в данной точке существует конечный предел, то в некоторой проколотой окрестности данной точки функция ограничена

Теорема о сохранении функцией знака своего предела

Если функция в данной точке существует, конечный предел отличается от 0, то в некоторой проколотой окрестности жтой точки функция имеет тот же знак, что и в указанном пределе (в частности, она не равна 0).

Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой.

lim (x->a) f(x) = A (A +/- oo) <=> f(x)=A+alpha(x) - бесконечно малая при x->a

Теорема (1 свойство бесконечно малой функции)

Сумма и разность БМ при x->a функций есть БМ функция

Теорема (2 свойство БМФ)

Произведение БМ на ограниченную при x->a функцию есть БМ при x->a функция

Теорема (3 свойство БМФ, частный случай 2 свойства)

Произведение 2 бесконечно малых при x->a функций есть БМ при ->a функция

Теорема об арифмитическом свойстве пределов.

Если lim (x->a) f(x)=A (+/- oo); lim (x->a) g(x)=B (+/- oo); то
1) lim (x->a) (f(x) +/- g(x)) = A+/- B
2) lim (x->a) f(x)*g(x) = A*B
3) lim (x->a) f(x)/g(x)=A/B (B<>0 g(x)<>0)

Теорема о предельном переходе и неравенствах

Пусть существует lim (x->n) f(x)=A и lim(x->a) g(x)=B (A;B<>oo)
Тогда, если А

Теорема 2-я о предельном переходе и неравенствах

Пусть существует lim (x->a) f(x)=A и lim (x->a) g(x) = B. Тогда в некоторой проколотой окрестности (а) выполняется неравенство
1) f(x)>=g(x), то A>=B (частный случай f(x)>g(x), то A>=B)
2) f(x)>=C, A>=C, где С=const.

Теорема о пределе промежуточной (зажатой) функции

Пусть функции f(x) и g(x) таковы, что существует lim (x->a) f(x) = lim(x->a) g(x) = A (A<>oo) и пусть существует проколотая дельта-окрестность а, в которой выполняется неравенство f(x)<=h(x)<=g(x), для любого х существует проколотая дельта-окрестность точки а. Тогда существует lim (x->a) h(x)=a

Теорема о пределе сложной функции.

Пусть существует lim (x->x0) g(x)=y0 и существует lim (y->y0) f(y)=A, и кроме того существует проколотая окрестность точки х0, в которой g(x) <> y0. Тогда существует lim (x->x0) f(g(x)) = lim (y->y0) f(y)=A.

Теорема 1 об эквивалентных функциях

Если f(x) эквивалентна g(x) при x->a, то g(x) эквивалентна f(x) при x->a

Теорема 2 об эквивалентных функциях.

Если при х->a f(x) эквивалентна g(x); g(x) эквивалентна h(x), то f(х) эквивалентна g(x).

Теорема 3 об эквивалентных функциях.

Если при x->a f(x) эквивалентна g(x), то f(x)=g(x)+p(x), где lim (x->a) p(x)=0.

Теорема о связи функции, ее предела и БМ

=> f(x)/g(x) = 1+p(x), где lim (x->a) p(x)=0 f(x)=g(x)+p(x)g(x)

Теорема 4 об эквивалентных функциях.

1) Если при x->a f(x) эквивалентна f1(x), то, если lim (x->a) f(x)g(x)=lim (x->a) f1(x)g(x)
2) Если lim (x->a) f(x)/g(x) = lim (x->a f1(x)/g(x)

Теорема 5 об эквивалентных функциях.

f(x) эквивалентна f1(x), g(x) эквивалентна g1(x) при x->a, то lim (x->a) f*g=lim(x->a)f1*g, lim (x->a) f/g = lim (x->a) f1/g = lim (x->a) f/g1

Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции.

Пусть ф-я y=f(x) непрерывна в x0. Это означает, что существует lim (x->x0) f(x) = p(x0). Пусть существует функция y=f(y) - непрерывная в y0 => p(x0)(lim(y->y0) f(y)) = f(y0). Тогда сложная функция y=f(p(x)) будет непрерывна в точке х, т.е предел сложной функции lim (x->x0) f[p(x)]=f(p(x0)]=f [lim (x->x0 p(x)]. Операция взятия предела и операция взятия непрерывности функции перестановочны между собой.

Теорема об обращении в ноль функции, непрерывной на отрезке.

Пусть f(x) определена и непрерывна на [a,b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. f(a)f(b)<0, то найдется по крайней мере одна точка С принадлежащая (a,b), в которой функция обращается в 0.

Теорема о промежуточном значении.

Пусть f(x) - определена и непрерывна на [a,b] и f(a)=A<>f(b)=B. Тогда для любого числа М такого, что М лежит между А и В (A

Теорема о наибольшем и наименьшем значении функции.

Функция, непрерывная на отрезке достигает на этом отрезке своего наименьшего и наибольшего значения.

Теорема о функции, непрерывной на отрезке

Если f(x) - определена, непрерывна и строго монотонна на [a,b], то существует функция x=g(y), определенная на отрезке [f(a),f(b)]-непрерывная и строго монотонная, такая, что g(f(x)=x (g=1/f(x)), т.е. g - обратная к f.